Elementy statystyki
Lekcja 1. Średnia arytmetyczna.
Średnia arytmetyczna, to suma wszystkich danych podzielona przez ich ilość.
Przykład 1.
Wyznacz liczbę x, jeśli wiadomo, że średnia arytmetyczna liczb 5, 3, 3, 2, 4, 2, x, 6, 8, 2 jest równa 4.
Przykład 2.
W bibliotece szkolnej badano, ile książek w ciągu miesiąca wypożyczyli uczniowie wybranej klasy. Na podstawie danych z tabeli oblicz jaka jest średnia liczba książek wypożyczonych przez jednego ucznia.
Przykład 3.
Średnia arytmetyczna wieku zawodników drużyny piłkarskiej jest równa 24. Gdyby uwzględnić wiek trenera, to średnia arytmetyczna wszystkich dwunastu osób wyniosłaby 26 lat. Ile lat ma trener?
Lekcja 2. Średnia ważona.
Średniej ważonej używamy wtedy, gdy dane mają różne znaczenie. Przypisujemy im wtedy tzw. wagi. Każdą z danych mnożymy przez jej wagę, wyniki dodajemy i otrzymaną sumę dzielimy przez sumę wag.
Przykład 1.
W szkolnym systemie oceniania ustalono, że oceny końcowe wystawia się na podstawie średniej ważonej ocen cząstkowych. Oceny ze sprawdzianu mają wagę 5, z odpowiedzi – wagę 3 i z kartkówki – wagę 2. Jaką średnią ma uczeń, który uzyskał ze sprawdzianów oceny 3, 4, 4, z odpowiedzi oceny 2,3 i z kartkówek oceny 5, 5, 4?
Przykład 2.
Na jednym z wydziałów wyższej uczelni, w systemie rekrutacyjnym, ustalono sposób obliczania punktów za pomocą średniej ważonej. Brane są pod uwagę wyniki egzaminu maturalnego z matematyki z wagą 0,5, z geografii z wagą 0,2 i z języka obcego nowożytnego z wagą 0,3. Ile punktów zdobył kandydat, który z matematyki miał 26 punktów, z geografii – 40 punktów i z języka obcego nowożytnego – 50 punktów?
Lekcja 3. Mediana.
Mediana to wartość środkowa zestawu danych uporządkowanych np. rosnąco, czyli wyznaczenie mediany zaczynamy od uporządkowania danych.
Przykład 1.
Jeśli mamy nieparzystą ilość danych, to mediana jest daną znajdującą się w środku tego ciągu.
Kuba dojeżdża do szkoły autobusem. Przez 17 kolejnych dni notował ile minut czeka na przyjazd autobusu. Dane zebrane przez Kubę to: 10, 5, 10, 7, 3, 5, 2, 8, 5, 10, 5, 8, 3, 10, 2, 5, 7. Jaka jest mediana czasu oczekiwania na autobus?
Przykład 2.
Jeśli danych mamy parzystą ilość, to mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych.
W klasie czwartej do konkursu matematycznego przystąpiło 6 osób. Po sprawdzeniu prac do szkoły przysłano wyniki w punktach w kolejności alfabetycznej uczestników: 10, 24, 10, 50, 32, 5, 11, 45, 50, 26, 14, 38, 35, 32, 24, 43. Jaka jest mediana ilości zdobytych punktów?
Lekcja 4. Wariancja i odchylenie standardowe.
Wariancja zestawu danych jest to suma kwadratów różnic między poszczególnymi danymi a ich średnią arytmetyczną, podzielona przez ich ilość. Oznacza się ją grecką literą sigma podniesioną do kwadratu σ 2.
Odchylenie standardowe jest równe pierwiastkowi drugiego stopnia z wariancji. Oznacza się je grecką literą sigma σ.
Przykład 1.
Tabela poniżej przedstawia wyniki klasyfikacji rocznej z matematyki w klasie 3b. Oblicz odchylenie standardowe od średniej ocen. Uwaga: jeśli dane się powtarzają, to odpowiednie składniki mnożymy przez ilość powtórzonych danych.
Przykład 2.
Producent masła na opakowaniu zapisuje, że kostka masła ma wagę 200 g +/- 2,6 g. Partia jest dopuszczona do sprzedaży, jeśli odchylenie standardowe od średniej wagi (200 g) 10 losowo wybranych kostek jest nie większe niż 2,6 g. Sprawdź, czy partia została dopuszczona do sprzedaży jeśli wagi losowo wybranych kostek masła w gramach wynosiły: 201, 198, 200, 200, 199, 200, 199, 200, 198, 198.
