Wielomiany
Lekcja 1. Wielomiany – wprowadzenie. Wielomian jednej zmiennej jest sumą jednomianów z tą samą zmienną. Wzór: W(x)=a n x n + a n-1 x n-1+ … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Wielomiany najczęściej porządkujemy tak jak wskazuje wzór, czyli od najwyższej potęgi n∈N do najniższej. Liczby rzeczywiste stojące przy poszczególnych potęgach zmiennej x∈R, czyli a n , a n-1 , … , a 2 , a 1 , a 0 nazywamy współczynnikami wielomianu. Wykładnik najwyższej potęgi, przy której współczynnik jest różny od zera, to stopień wielomianu. Przykład 1. Uporządkuj wielomian W(x) =3 x 2 – 5 x 4 + x – 8 + 4 x 3 , wypisz jego współczynniki i określ stopień wielomianu. 
Przykład 2. Uporządkuj wielomian W(x) =10 x + 8 x 3 + 2, wypisz jego współczynniki i określ stopień wielomianu. (uwaga: jeżeli współczynnik jest równy zero, to ten składnik nie będzie zapisany). 
Przykład 3. Podaj przykład trzech wielomianów siódmego stopnia, którego współczynniki a 5 i a 3 są równe odpowiednio 7 i 0. 
Lekcja 2. Pierwiastek wielomianu. Pierwiastek wielomianu to liczba, dla której wartość wielomianu równa się zero. Czyli taka liczba x, dla której zachodzi równość: W(x)=0. Przykład 1. Podaj pierwiastki wielomianu W(x) = x 2 – 4. 
Przykład 2. Sprawdź, czy liczba x = -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 6 x 4 – 3 x 2 + 5 x + 3. 
Przykład 3. Liczba x = -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = (m -7 ) x 3 + 2 m x 2 + 5 m – 1. Oblicz współczynniki wielomianu W. 
Lekcja 3. Działania na wielomianach. Podstawowe działania, które wykonujemy na wielomianach to: dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Wykonuje się je według tych samych zasad co działania na wyrażeniach algebraicznych. Przykład 1. Wykonaj działania i zapisz wielomian w postaci uporządkowanej. 
Przykład 2. Dane są wielomiany W(x) = x 3 + 1, P(x) = x 2 – 2 x, Q(x) = 3 x 2 – 5 x + 1. Zapisz wielomian R(x) = W(x) ⋅ P(x) – Q(x) w najprostszej , uporządkowanej postaci. 
Przykład 3. Nie wykonując mnożenia wielomianów, podaj stopień wielomianu W(x) = (3 x – 1)(2 – x)(5 x 3 +4) oraz współczynnik stojący przy najwyższej potędze i wyraz wolny (wyraz wolny to współczynnik a 0). 
Lekcja 4. Równość wielomianów. Dwa wielomiany są sobie równe gdy są tego samego stopnia i mają takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach. Przykład 1. Sprawdź czy wielomiany W(x) = 3 – x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 i Q(x) = 2 x 4 + 2 x 2 + 1 – 3 x 4 + 2 + 5 x 3 są równe. 
Przykład 2. Wykaż, że wielomiany W(x) = ( 2 x + 1 )( x 2 – 5 ) i P(x) = x 5 + 2 x 2 – ( 5 + x 2 – 2 x 3 + x 5 ) nie są równe. 
Przykład 3. Wielomiany W(x) i P(x) są równe. Oblicz k i m. 
Lekcja 5. Rozkład wielomianu na czynniki. Zamiana wielomianu w postaci sumy (dodawanie jednomianów) na wielomian w postaci iloczynu (mnożenie wielomianów niższego stopnia), to rozkład wielomianu na czynniki. Jest kilka sposobów zamiany wielomianu w postaci sumy na iloczyn. Przykład 1. Rozłóż wielomiany W(x) = 4 x 5 – 3 x 4 + 7 x 2 i R(x) = ( x 2 +3 )( x – 1 ) + ( x 2 + 3 )( 4 x + 5 ) na czynniki wyłączając wspólny czynnik poza nawias. 
Przykład 2. Rozłóż wielomiany W(x) = x 3 – 3 x 2 + 4 x – 12 i P(x) = x 5 – x 4 + x – 1 na czynniki grupując wyrazy. 
Przykład 3. Za pomocą wzorów skróconego mnożenia rozłóż wielomiany W(x) = 16 x 2 – 9, P(x) = 9 x 2 – 6 x + 1
i R(x) = x 2 + 8 x + 16 na czynniki. 
Lekcja 6. Równania wielomianowe. Równanie wielomianowe to równanie postaci W(x)=0, lub takie które można do tej postaci doprowadzić. Do rozwiązywania równań wielomianowych można wykorzystać postać iloczynową wielomianu. Iloczyn równa się zero gdy przynajmniej jeden z czynników równa się zero. Dlatego wystarczy przyrównać do zera każdy z czynników i w ten sposób znajdujemy rozwiązania równania. Liczby, które są rozwiązaniami równania W(x)=0 , to pierwiastki wielomianu. Przykład 1. Rozwiąż równanie ( 3 – x )( 4 x + 1 )( x + 8 ) = 0. 
Przykład 2. Zapisz lewą stronę równania 25 x 2 – 4 = 0 w postaci iloczynowej i rozwiąż je. 
Przykład 3. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x) = x 2 ( 4 x 2 + 9 ) – 16 ( 4 x 2 + 9 ) . 
Lekcja 7. Nierówności wielomianowe. Nierówności wielomianowe to nierówności postaci W(x)>0, W(x)<0, W(x)≥0, W(x)≤0 lub takie, które do tej postaci można doprowadzić. Przykład 1. Rozwiąż nierówność 2 ( x – 7 + x 2 ) – 2 x 2 > 0. Podaj ilustrację zbioru rozwiązań tej nierówności na osi liczbowej i zapisz go w postaci przedziału liczbowego. 
Przykład 2. Podaj przykład dwóch liczb niewymiernych należących do zbioru rozwiązań nierówności x 2 – 3 x + 2 ≤ 0. 
Przykład 3. Sprawdź, czy liczba 2,357 należy do zbioru rozwiązań nierówności ( x 4 + 1 )( 3 x – 15 ) ≥ 0. 
Przykład 2. Uporządkuj wielomian W(x) =10 x + 8 x 3 + 2, wypisz jego współczynniki i określ stopień wielomianu. (uwaga: jeżeli współczynnik jest równy zero, to ten składnik nie będzie zapisany). Przykład 3. Podaj przykład trzech wielomianów siódmego stopnia, którego współczynniki a 5 i a 3 są równe odpowiednio 7 i 0. Lekcja 2. Pierwiastek wielomianu. Pierwiastek wielomianu to liczba, dla której wartość wielomianu równa się zero. Czyli taka liczba x, dla której zachodzi równość: W(x)=0. Przykład 1. Podaj pierwiastki wielomianu W(x) = x 2 – 4. Przykład 2. Sprawdź, czy liczba x = -1 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 6 x 4 – 3 x 2 + 5 x + 3. Przykład 3. Liczba x = -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = (m -7 ) x 3 + 2 m x 2 + 5 m – 1. Oblicz współczynniki wielomianu W. Lekcja 3. Działania na wielomianach. Podstawowe działania, które wykonujemy na wielomianach to: dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Wykonuje się je według tych samych zasad co działania na wyrażeniach algebraicznych. Przykład 1. Wykonaj działania i zapisz wielomian w postaci uporządkowanej. Przykład 2. Dane są wielomiany W(x) = x 3 + 1, P(x) = x 2 – 2 x, Q(x) = 3 x 2 – 5 x + 1. Zapisz wielomian R(x) = W(x) ⋅ P(x) – Q(x) w najprostszej , uporządkowanej postaci. Przykład 3. Nie wykonując mnożenia wielomianów, podaj stopień wielomianu W(x) = (3 x – 1)(2 – x)(5 x 3 +4) oraz współczynnik stojący przy najwyższej potędze i wyraz wolny (wyraz wolny to współczynnik a 0). Lekcja 4. Równość wielomianów. Dwa wielomiany są sobie równe gdy są tego samego stopnia i mają takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach. Przykład 1. Sprawdź czy wielomiany W(x) = 3 – x 4 + 5 x 3 + 2 x 2 i Q(x) = 2 x 4 + 2 x 2 + 1 – 3 x 4 + 2 + 5 x 3 są równe. Przykład 2. Wykaż, że wielomiany W(x) = ( 2 x + 1 )( x 2 – 5 ) i P(x) = x 5 + 2 x 2 – ( 5 + x 2 – 2 x 3 + x 5 ) nie są równe. Przykład 3. Wielomiany W(x) i P(x) są równe. Oblicz k i m. Lekcja 5. Rozkład wielomianu na czynniki. Zamiana wielomianu w postaci sumy (dodawanie jednomianów) na wielomian w postaci iloczynu (mnożenie wielomianów niższego stopnia), to rozkład wielomianu na czynniki. Jest kilka sposobów zamiany wielomianu w postaci sumy na iloczyn. Przykład 1. Rozłóż wielomiany W(x) = 4 x 5 – 3 x 4 + 7 x 2 i R(x) = ( x 2 +3 )( x – 1 ) + ( x 2 + 3 )( 4 x + 5 ) na czynniki wyłączając wspólny czynnik poza nawias. Przykład 2. Rozłóż wielomiany W(x) = x 3 – 3 x 2 + 4 x – 12 i P(x) = x 5 – x 4 + x – 1 na czynniki grupując wyrazy. Przykład 3. Za pomocą wzorów skróconego mnożenia rozłóż wielomiany W(x) = 16 x 2 – 9, P(x) = 9 x 2 – 6 x + 1
i R(x) = x 2 + 8 x + 16 na czynniki. Lekcja 6. Równania wielomianowe. Równanie wielomianowe to równanie postaci W(x)=0, lub takie które można do tej postaci doprowadzić. Do rozwiązywania równań wielomianowych można wykorzystać postać iloczynową wielomianu. Iloczyn równa się zero gdy przynajmniej jeden z czynników równa się zero. Dlatego wystarczy przyrównać do zera każdy z czynników i w ten sposób znajdujemy rozwiązania równania. Liczby, które są rozwiązaniami równania W(x)=0 , to pierwiastki wielomianu. Przykład 1. Rozwiąż równanie ( 3 – x )( 4 x + 1 )( x + 8 ) = 0. Przykład 2. Zapisz lewą stronę równania 25 x 2 – 4 = 0 w postaci iloczynowej i rozwiąż je. Przykład 3. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x) = x 2 ( 4 x 2 + 9 ) – 16 ( 4 x 2 + 9 ) . Lekcja 7. Nierówności wielomianowe. Nierówności wielomianowe to nierówności postaci W(x)>0, W(x)<0, W(x)≥0, W(x)≤0 lub takie, które do tej postaci można doprowadzić. Przykład 1. Rozwiąż nierówność 2 ( x – 7 + x 2 ) – 2 x 2 > 0. Podaj ilustrację zbioru rozwiązań tej nierówności na osi liczbowej i zapisz go w postaci przedziału liczbowego. Przykład 2. Podaj przykład dwóch liczb niewymiernych należących do zbioru rozwiązań nierówności x 2 – 3 x + 2 ≤ 0. Przykład 3. Sprawdź, czy liczba 2,357 należy do zbioru rozwiązań nierówności ( x 4 + 1 )( 3 x – 15 ) ≥ 0. 
